Question

【题目】若函数与在给定的区间上满足恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”。

（1）若函数与在R上和谐，求实数a的取值范围；

（2）若函数与在上和谐，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由已知条件得，需都在上恒成立，或有相同的两个不等的实根，即 ，或，

可求得实数a的取值范围；

（2）由对数的定义域得,再由题意得，由和,可得和,再由讨论当时,当时,当时,分别根据不等式的性质可得实数a的取值范围.

（1）由已知条件得，若函数与在R上和谐，

则需都在上恒成立，或有相同的两个不等的实根，

当都在上恒成立时，则需，解得，所以；

当有相同的两个不等的实根时，，解得，

综上可得实数a的取值范围是；

（2）由对数的定义域可得,再由题意得，
由,可得,所以时，，时，；

由,可得，所以时，，时，，
由题意要使函数与在上和谐，则的两零点之间必需无正整数,
又由于,所以

当时,, ,之间有正整数，不满足题意;
当时,, ,之间有正整数，不满足题意;

当时,,满足题意.
所以实数a的取值范围是.