Question

【题目】已知函数 ．

（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；

（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）,证明见解析.

【解析】分析：（1）由函数的解析式可得，利用可得， 则切点为，切线方程为．

（2）结合(1)中导函数的解析令，得．构造函数，令，则，利用导函数研究函数的单调性可知在递增，在递减，所以． 结合题意可得的取值范围是． 由极值点的性质可得不妨设，则，，结合的单调性可得，据此有，即．

详解：（1）∵，∴，解得，

∴，故切点为，

所以曲线在处的切线方程为．

（2），令，得．

令，则，

且当时，；当时，；时，．

令，得，

且当时，；当时，．

故在递增，在递减，所以．

所以当时，有一个极值点；

时，有两个极值点；

当时，没有极值点．

综上，的取值范围是．

因为是的两个极值点，所以即…①

不妨设，则，，

因为在递减，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．