Question

【题目】已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求证：时，；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】分析：第一问对函数求导，求得的值，紧接着求得，从而应用点斜式求得直线的方程，与题中所给的直线方程对比，求得参数的值，第二问将所求的的值代入，之后构造新函数，利用导数得到函数的单调性，之后证得结果，第三问借助于第二问所证得的不等式，将其中变量加以代换，之后对不等式进行变形，并且对其进行适当的放缩，然后应用裂项相消法求和，证得结果.

详解：（Ⅰ）函数定义域为，，

又因为

所以该切线方程为，即,.

（2）设，

则

设，

则

当，，又，故

所以，即在区间上单调递增，所以

所以，

（2）由（2）可知，

令，则，

因为

所以时，有

化简为，

即，所以.