Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A(1，

3

2

)到焦点F₁、F₂的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，当△OMN的面积取得最大值时，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程，利用椭圆上的点A(1，

3

2

)到焦点F₁、F₂的距离之和等于4，建立方程组，即可求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）分类讨论，确定△OMN面积，利用△OMN面积取得最大值，即可求直线MN的方程．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆上的点A(1，

3

2

)到焦点F₁、F₂的距离之和等于4，
∴

2a=4 1 a2 + 3 4 b2 =1

，
∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，焦点坐标为(-

3

，0)，(

3

，0)；
（2）MN斜率不为0，设MN方程为x=my+1．
联立椭圆方程：

x2

4

+y2=1可得（m²+4）y²+2my-3=0
记M、N纵坐标分别为y₁、y₂，
则S△OMN=

1

2

|OQ|×|y1-y2|=

1

2

×1×

16m2+48

m2+4

=

2 m2+3

m2+4

设t=

m2+3

(t≥3)
则S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

(t≥

3

)，该式在[

3

，+∞)单调递减，
∴在t=

3

，即m=0时S取最大值

3

2

．
综上，直线MN的方程为x=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．