Question

设向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，|3

a

-

b

|=

5

．
（1）求|

a

+3

b

|的值；
（2）求3

a

-

b

与

a

+3

b

夹角的正弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算及其性质即可得出；
（2）利用向量的夹角公式和数量积的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，|3

a

-

b

|=

5

．
∴5=9

a

2+

b

2-6

a

•

b

=9+1-6

a

•

b

，∴

a

•

b

=

5

6

．
因此(

a

+3

b

)2=

a

2+9

b

2+6

a

•

b

=1+9+6×

5

6

=15，
∴|

a

+3

b

|=

15

．
（2）设3

a

-

b

与

a

+3

b

夹角为θ，
∵(3

a

-

b

)•(

a

+3

b

)=3

a

2+8

a

•

b

-3

b

2=3+8×

5

6

-3=

20

3

．
∴cosθ=

(3 a - b )•( a +3 b )

|3 a - b | | a +3 b |

=

20 3

5 × 15

=

4 3

9

．
∵θ∈[0，π]，∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 4 3 9 )2

=

33

9

．
∴3

a

-

b

与

a

+3

b

夹角的正弦值为

33

9

．

点评：本题考查了数量积的运算及其性质、向量的夹角公式，属于基础题．