Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点(

an

，an+1)（n∈N^*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求数列{b_n}的通项．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1-a_n=1，a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，由此能求出a_n；
（Ⅱ）b_n+1-b_n=2ⁿ，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2¹+1，利用等比数列的求和公式，即可求出数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1，
即a_n+1-a_n=1．
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列，
故a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，从而b_n+1-b_n=2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+…+2³+2¹+1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，此题为中档题．