Question

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝,M,N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

Answer 1

（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0)  .

试题分析：（1）因为：，且过点P(1, )，列出关于a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆方程即可；（2）设点M（4，m），N（4，n）写出向量的坐标，利用向量的数量积得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，结合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点．
试题解析：（1）由已知可得
∴椭圆的方程为＝1                  4分
（2）设M（4，m），N（4，n），∵F₁(－1，0)，F₂(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0  6分
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2  ∴|MN|的最小值为2 10分
（3）以MN为直径的圆C的方程为：(x－4)²＋(y－)＝()²  11分
令y＝0得(x－4)²＝－＝－mn＝15x＝4±
所以圆C过定点(4－，0)和(4＋，0)                      13分