Question

已知等差数列满足：=2，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）或；

（2）当时，不存在满足题意的n；当时，存在满足题意的n，其最小值为41.

【解析】

试题分析：（1）本小题利用基本量法，设公差为，则成等比可转化为关于的方程，解出即可写其通项公式；（2）在上小题已得的等差数列的前提下，求出其前n项和，利用转化为不等解集问题的分析即可，同时要注意n为正整数.

试题解析：（1）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有，

化简得，解得或.当时，；当时，，

从而得数列的通项公式为或.

（2）当时，.显然，此时不存在正整数n，使得成立.

当时，.令，即，解得或（舍去），此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为41.

综上，当时，不存在满足题意的n；当时，存在满足题意的n，其最小值为41.

考点：等差与等比数列的定义，通项公式，等差数列的前n项和公式，解一元二次不等式，分类讨论与化归思想.