Question

已知函数f(x)=

log5|x-5| (x≠5) 3 (x=5)

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五个不等实根x₁，x₂，…，x₅，则f（x₁+x₂+…+x₅）=（　　）

A．log₅3

B．1+log₅3

C．1+log₅4

D．2

Answer 1

分析：分情况讨论，当x=5时，f（x）=3，则由程f²（x）+bf（x）+c=0  得 x₁ =5，c=-3b-9．当x＞5时，f（x）
=log₅（x-5），由关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0得有 x₂=125+5=130，x₃=5^-3-b+5．当x＜5时，
f（x）=log₅（5-x），由关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0得 x₄=-120，x₅=5-5^-3-b．故有 x₁+x₂+…+x₅
=25，再由 f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25）运算求得结果．

解答：解：当x=5时，f（x）=3，由关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0 得 9+3b+c=0，故x₁ =5，c=-3b-9．
当x＞5时，f（x）=log₅（x-5），由关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0
得 (log5(x-5))2+blog₅（x-5）-3b-9=0，即[log₅（x-5）-3]•[log₅（x-5）+3+b]=0，
解上述方程可得 log₅（x-5）=3，或 log₅（x-5）=-3-b．
故有 x₂=125+5=130，x₃=5^-3-b+5．
当x＜5时，f（x）=log₅（5-x），由关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0得
(log5(5-x))2+blog₅（5-x）-3b-9=0，
解得 log₅（5-x）=3，或 log₅（5-x）=-3-b．故有 x₄=-120，x₅=5-5^-3-b．
∴x₁+x₂+…+x₅ =25，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（25）=log₅20=1+log₅4，
故选C．

点评：这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件分别根据a=0、a＞0和a＜0三种情况求出关于x的
方程f2（x）+bf（x）+c=0的5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，然后再求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的
值，属于中档题．