Question

已知函数f(x)=

a(x-1)

x-2

，a为常数
（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值
（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由解集可知x＞2，从而对不等式进行化简，解出不等式后对比解集端点可得关于a的方程，解出即可；
（2）f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，可先分离出参数a后转化为求函数最值解决，对函数进行恰当变形，然后利用基本不等式可求最值；

解答：解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，
所以f（x）＞2即

a(x-1)

x-2

＞2可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，
由解集形式知：a-2＜0，所以x＜

a-4

a-2

②，
由①②得2＜x＜

a-4

a-2

，
所以

a-4

a-2

=3，解得a=1，；
（2）f（x）＜x-3即

a(x-1)

x-2

＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜

(x-2)(x-3)

x-1

对任意的x∈（2，+∞）恒成立，
又

(x-2)(x-3)

x-1

=（x-1）+

2

x-1

-3≥2

(x-1)• 2 x-1

-3=2

2

-3，
当且仅当x=

2

+1时取等号，
所以a＜2

2

-3；

点评：本题考查函数恒成立问题、根与系数的关系，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，解决本题的关键是对问题进行合理转化，变为求函数最值问题．