Question

20．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，过左焦点且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AF₂，AB，BF₂成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设A，B两点都在以P（-2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．

Answer 1

分析 （1）根据AF₂，AB，BF₂成等差数列，可得2AB=AF₂+BF₂，利用椭圆定义可得AB=$\frac{4a}{3}$．设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，利用根与系数的关系化简可得a=$\sqrt{2}$b，从而求得椭圆的离心率；
（2）设AB的中点为N（x₀，y₀），运用中点坐标公式，可得N的坐标，根据PA=PB知PM为AB的中垂线，可得k_PN=-1，从而可求b=6，进而可求椭圆E的方程．

解答 解：（1）∵AF₂，AB，BF₂成等差数列，
∴2AB=AF₂+BF₂，
由椭圆定义可得，AB+AF₂+BF₂=4a，
∴AB=$\frac{4}{3}a$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，①
则AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$]=$\frac{8{b}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$•2a²，
化简得a=$\sqrt{2}$b．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{b}^{2}}{2{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设AB的中点为N（x₀，y₀），由（1）可得，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-c=$\frac{c}{3}-c=-\frac{2c}{3}$，y₀=x₀+c=$\frac{c}{3}$，
由PA=PB，可得k_PN=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}=-1$，
化简为$\frac{c}{3}=\frac{2c}{3}-2$，解得c=6，a=6$\sqrt{2}$，b=6．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{72}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，考查等差数列的性质、两点间的距离公式的应用，关键是利用PA=PB得k_PN=-1，属于中档题．