Question

15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=$\sqrt{3}$的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求二面角D-AF-B的大小．

Answer 1

分析 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），C（3，-2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F（0，1，$\sqrt{3}$），M（$\frac{3}{2}$，0，0）．
（1）求出平面ADF的一个法向量是$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}=（\frac{3}{2}，0，-\sqrt{3}）•（2，3，\sqrt{3}）=0$，得$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{n}$，即可得EM∥平面ADF．
（2）平面ADF的一个法向量是$\overrightarrow{n}=（2，3，\sqrt{3}）$．可得平面ABF的法向量是$\overrightarrow{BD}=（3，0，0）$．
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{1}{2}$，即可求得二面角D-AF-B的大小．

解答 解：因为BE⊥平面ABD，AB⊥DB，故以B为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），
C（3，-2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），F（0，1，$\sqrt{3}$），M（$\frac{3}{2}$，0，0）．
（1）$\overrightarrow{EM}=（\frac{3}{2}，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AD}=（3，-2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，-1，\sqrt{3}）$
设平面ADF的一个法向量是$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=3x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令y=3，则$\overrightarrow{n}=（2，3，\sqrt{3}）$．
又因为$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}=（\frac{3}{2}，0，-\sqrt{3}）•（2，3，\sqrt{3}）=0$
所以$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{n}$，又EM?平面ADF，所以EM∥平面ADF．
（2）平面ADF的一个法向量是$\overrightarrow{n}=（2，3，\sqrt{3}）$．
可得平面ABF的法向量是$\overrightarrow{BD}=（3，0，0）$．
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{1}{2}$，
∵二面角D-AF-B为锐角，∴二面角D-AF-B的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了向量法判定线面平行，向量法求二面角，属于中档题．