Question

5．已知向量$\overrightarrow{AB}$=（2-k，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，k）．
（1）若A，B，C三点共线，求k的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，若A，B，C三点共线，则有$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，由向量平行的坐标表示可得（2-k）k+1=0，解可得k的值．
（2）根据题意，△ABC为直角三角形，本题可分三种情形，即A是直角，B是直角或C是直角，由向量垂直的坐标表示分别求出k的值，综合即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，若A，B，C三点共线，
则有$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，即（2-k）k+1=0，
解可得：k=1±$\sqrt{2}$；
（2）向量$\overrightarrow{AB}$=（2-k，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，k），则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=（k-1，k+1），
若A是直角，则有$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，则有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（2-k）-k=0，解可得k=1；
若B是直角，则有$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=（2-k）（k-1）-（k+1）=0，此时无解；
若C是直角，则有$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{AC}$，则有$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$=k²+2k-1=0，解可得k=-1±$\sqrt{2}$，
故k=1或k=-1±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量数量积的运算以及向量平行的坐标表示，（2）中注意需要进行分类讨论．