Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）取得最大值和最小值时的集合．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简求出函数的解析式，然后列表描点即可用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得函数f（x）的单调区间；
（3）令2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，从而可求函数f（x）取得最大值和最小值时的集合．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）
列表：…（6分）

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	1	0	-1	0

描点、连线如图所示．…（12分）

（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
（3）由f（x）_max=1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，从而有x=kπ+

π

12

，k∈Z；
由f（x）_min=-1，可解得2x+

π

3

=2kπ+

3π

2

，k∈Z，从而有x=kπ+

7π

12

，k∈Z．

点评：本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．