Question

如图，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，AA₁⊥面ABC且AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为 AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设BC₁∩B₁C=O，连OD，由已知得OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）由已知得△ABC是直角三角形，又D是AB中点，S_△BCD=3，CC₁⊥面ABC，且CC₁=AA₁=4，由此能求出三棱锥C₁-BCD的体积．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：设BC₁∩B₁C=O，连OD，
则O为BC₁的中点，又D为AB的中点，
∴OD∥AC₁，
且OD?面B₁CD，AC₁不包含于面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，又D是AB中点，
∴S△BCD=

1

2

×

1

2

AC×BC=

1

2

×

1

2

×3×4=3，
又AA₁⊥面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，且CC₁=AA₁=4
∴VC1-BCD=

1

3

S△BCD•CC1=

1

3

×3×4=4．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．