Question

14．已知直线l：y=k（x-1），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，则当k=$\sqrt{5}$时直线l与椭圆C的位置关系为相交．（填：相离，相切，相交，不确定）；若直线l和椭圆C相交时所得弦的中点横坐标为$\frac{3}{4}$，则k=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由直线l：y=k（x-1）过定点（1，0）可知直线l与椭圆C的位置关系是相交；联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得k值．

解答 解：∵直线l：y=k（x-1）过定点（1，0），
∴当k=$\sqrt{5}$时直线l与椭圆C的位置关系为相交；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由题意可得：$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=2×\frac{3}{4}$，解得k=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：相交；$±\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线恒过定点问题，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．