Question

4．已知圆心为C的圆经过点A（0，2）和B（1，1），且圆心C在直线l：x+y+5=0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若P（x，y）是圆C上的动点，求3x-4y的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出圆心和半径即可求出圆的标准方程．
（2）根据直线和圆的位置关系进行求解即可．

解答 解：（1）线段AB的中点为$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，又k_AB=-1
故线段AB的垂直平分线方程为$y-\frac{3}{2}=1•（x-\frac{1}{2}）$即x-y+1=0…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+y+5=0\end{array}\right.$得圆心C（-3，-2）…（4分）
圆C的半径长$r=|AC|=\sqrt{{{（0+3）}^2}+{{（2+2）}^2}}=5$
故圆C的标准方程为（x+3）²+（y+2）²=25…（6分）
（2）令z=3x-4y，即3x-4y-z=0
当直线3x-4y-z=0与圆C相切于点P时，z取得最值…（8分）
则圆心C（-3，-2）到直线3x-4y-z=0的距离为$d=\frac{|-9+8-z|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=5$，解得z=-26或z=24
故3x-4y的最小值为-26，最大值为24…（12分）

点评 本题主要考查圆的标准方程的求解，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．