Question

16．在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
（1）设平面BEF与⊙O所在的平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在的平面的交线为m，证明：l⊥m；
（2）求二面A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面，再由EF⊥CD．能证明l⊥m．
（Ⅱ）分别以EF在⊙O所在平面内的投影、AB、OO₁为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：由于圆柱的两底面互相平行，
∴AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面．…（2分）
∴l∥EF，m∥AB．…（4分）
而EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）解：分别以EF在⊙O所在平面内的投影、AB、OO₁为坐标轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则A（0，-1，0），B（0，1，0），E（-1，0，$\sqrt{2}$），F（1，0，$\sqrt{2}$）…（8分）
设平面ABE的法向量分别是$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）
则由$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{AB}=0$及$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{AE}=0$，
得$\left\{\begin{array}{l}2y=0\\-x+y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{2}，0，1$）…（10分）
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$0，\sqrt{2}，1$）
∵cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{1}{3}$
∴所求二面角A-BE-F的平面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．建立坐标系，利用向量法是解决空间角常用的方法．