Question

11．已知直角坐标系中动点P（1+cosα，sinα）参数α∈[0，2π]，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点Q（ρ，θ）在曲线C：$\frac{sinθ}{a}$-cosθ=$\frac{1}{ρ}$上
（1）在直角坐标系中，求点P的轨迹E的方程和曲线C的方程
（2）若动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（x，y），消去参数α，得（x-1）²+y²=1能求出点P的轨迹E的方程；由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C的方程．
（2）由已知得直线与圆相交，圆心（1，0）到直线ax-y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
消去参数α，得（x-1）²+y²=1为点P的轨迹E的方程，
由曲线C：$\frac{sinθ}{a}-cosθ=\frac{1}{ρ}$，得ρsinθ-aρcosθ=a，且a≠0，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得曲线C的方程为：ax-y+a=0（a≠0）．
（2）曲线C的方程为：ax-y+a=0，（a≠0），
即y=a（x+1），a≠0，
表示过点（-1，0），斜率为a的直线，
动点P的轨迹E是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，
∵′动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，
∴直线与圆相交，∴圆心（1，0）到直线ax-y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，
即d=$\frac{|a+a||}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$＜1，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜a＜0$或0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴实数a的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查直线与曲线的直角坐标方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．