Question

3．命题：若点O和点F（-2，0）分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．

Answer 1

分析 先求出双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{3}^{\;}}-{y}^{2}=1$，设点P（x₀，y₀），则${{y}_{0}}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$，（x₀$≥\sqrt{3}$），由此能证明$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

解答 解：此命题为真命题．
证明如下：
∵F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a²+1=4，解得a²=3，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{3}^{\;}}-{y}^{2}=1$，
设点P（x₀，y₀），则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-{{y}_{0}}^{2}$=1，（${x}_{0}≥\sqrt{3}$），
解得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$，（x₀$≥\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{FP}$=（x₀+2，y₀），$\overrightarrow{OP}$=（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=${x}_{0}（{x}_{0}+2）+{{y}_{0}}^{2}$=x₀（x₀+2）+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-1$=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{3}+2{x}_{0}-1$，
这个二次函数的对称轴为${x}_{0}=-\frac{3}{4}$，
∵${x}_{0}≥\sqrt{3}$，∴当${x}_{0}=\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$取得最小值$\frac{4}{3}×3+2\sqrt{3}-1$=3+2$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．