Question

14．已知椭圆$G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为$\sqrt{6}$．
（I）求椭圆G的方程；
（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由已知点$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$在椭圆G上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，列出方程组求出a，b，能求出椭圆G的方程．
（II）点F的坐标为（-1，0），设点P的坐标为（x₀，y₀），直线FP的方程为y=k（x+1），从而得$2{x_0}^2+3{k^2}{（{x_0}+1）^2}=6$．设直线OP的方程为y=mx．得${m^2}=\frac{2}{{{x_0}^2}}-\frac{2}{3}$．由此能求出直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．

解答 解：（I）∵椭圆$G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为$\sqrt{6}$．
∴点$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$在椭圆G上，又离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{{2{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=\sqrt{2}.\end{array}\right.$
∴椭圆G的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（II）由（I）可知，椭圆G的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．∴点F的坐标为（-1，0）．
设点P的坐标为（x₀，y₀）（x₀≠-1，x₀≠0），直线FP的斜率为k，
则直线FP的方程为y=k（x+1），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k（{x_0}+1）\\ \frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\end{array}\right.$消去y₀，并整理得$2{x_0}^2+3{k^2}{（{x_0}+1）^2}=6$．
又由已知，得$k=\sqrt{\frac{{6-2{x_0}^2}}{{3{{（{x_0}+1）}^2}}}}＞\sqrt{2}$，解得$-\frac{3}{2}＜{x_0}＜-1$或-1＜x₀＜0．
设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=m{x_0}\\ \frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\end{array}\right.$消去y₀，并整理得${m^2}=\frac{2}{{{x_0}^2}}-\frac{2}{3}$．
由-1＜x₀＜0，得m²＞$\frac{4}{3}$，
∵x₀＜0，y₀＞0，∴m＜0，∴m∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
由-$\frac{3}{2}$＜x₀＜-1，得$\frac{2}{9}＜{m}^{2}＜\frac{4}{3}$，
∵x₀＜0，y₀＞0，得m＜0，∴-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜m＜-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）∪（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．