Question

2．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点P（0，1）在短轴CD上，且$\overrightarrow{PC}\overrightarrow{•PD}=-1$．
（I）求出椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P的直线l和椭圆E交于A，B两点．
（i）若$\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$，求直线l的方程；
（ii）已知点Q（0，2），证明对于任意直线l，$\frac{{\left|{QA}\right|}}{{\left|{QB}\right|}}=\frac{{\left|{PA}\right|}}{{\left|{PB}\right|}}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=（b-1）（-b-1）=-1，解得$b²=2，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，不存在这样的直线，当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，与椭圆联立得（1+2k²）x²+4kx-2=0，由此利用韦达定理，能求出直线l的方程．
（ii）当直线l与x垂直时，$\frac{{\left|{QA}\right|}}{{\left|{QB}\right|}}=\frac{{\left|{PA}\right|}}{{\left|{PB}\right|}}$，对于任意直线l，欲证明$\frac{{\left|{QA}\right|}}{{\left|{QB}\right|}}=\frac{{\left|{PA}\right|}}{{\left|{PB}\right|}}$恒成立．只需证明：k_QB+k_QA=0．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点P（0，1）在短轴CD上，且$\overrightarrow{PC}\overrightarrow{•PD}=-1$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}b=\sqrt{2}c$，
又C（0，b），D（0，-b），∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=（b-1）（-b-1）=-1，解得$b²=2，
∴a=2，∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）（i）当直线l斜率不存在时，$\overrightarrow{PB}$=$\sqrt{2}-1$，$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}+1$，$\overrightarrow{PB}≠\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$，
不符合题意，不存在这样的直线，
当直线l斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，整理，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
由韦达定理得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-2}{1+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$，得$（{x}_{2}，{y}_{2}-1）=\frac{1}{2}（-{x}_{1}，1-{y}_{1}）$，∴${x}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}$，
代入韦达定理，整理得${x}_{1}=\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$，${{x}_{1}}^{2}=\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
解得${k}^{2}=\frac{1}{14}$，∴k=$±\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴直线l的方程为$y=±\frac{\sqrt{14}}{14}x+1$．
证明：（ii）当直线l与x垂直时，$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{|PA|}{|PB|}$，∴命题成立．
下面证明对任意斜率存在的直线l，均有$\frac{|QA|}{|QB|}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$，
即证：y轴为∠AQB的角平分线所在直线，只需证明：k_QB+k_QA=0
${k}_{QB}=\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$k-\frac{1}{{x}_{2}}$，${k}_{QA}=\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}$=$\frac{k{x}_{1}-1}{{x}_{1}}$=k-$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴${k}_{QB}+{k}_{QA}=2k-（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=2k-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由（1）中韦达定理得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，∴k_QB+k_QA=2k-2k=0，
∴对任意直线l，$\frac{|QA|}{|QB|}=\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立．

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查两组线段比值相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．