Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若二面角P-CD-A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；
（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．
（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．
（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，
∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，
∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，
∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，
∴∠PDA=60°，∴PA=$\sqrt{3}AD$，
∵AB=AD=2CD，∴PA=$\sqrt{3}AB$=$\sqrt{3}AD$，
由（1）知，∠CEF为CE于平面PAB所成角，
∵tan∠CEF=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{AD}{EF}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}•2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）过P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，
由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，PG⊥PD，
∴∠APD为所求锐二面角的平面角，
cos$∠APD=\frac{PA}{PD}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．