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    1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=-3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q
    （i）证明：OM平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
    （ii）当$\frac{|MF|}{|PQ|}$最小时，求点M的坐标．

    分析 （I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a2=b2+c2，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）（i）设M（-3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），kMF=-m，设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
    （ii）利用两点间距离公式及弦长公式将$\frac{|MF|}{|PQ|}$表示出来，由换元法和基本不等式，可得$\frac{|MF|}{|PQ|}$取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点M的坐标．

    解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，
    短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得
    a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，即有a=$\sqrt{3}$b，a2-b2=4，
    解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
    则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
    （Ⅱ）设M（-3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），
    PQ的中点为N（x0，y0），kMF=-m，
    （i）证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，
    代入椭圆方程可得（m2+3）y2-4my-2=0，
    ∴y1+y2=$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y1y2=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
    于是N（-$\frac{6}{3+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$），
    则直线ON的斜率kON=-$\frac{m}{3}$，
    又kOM=-$\frac{m}{3}$，
    ∴kOM=kON，
    ∴O，N，M三点共线，即有OM平分线段PQ；
    （ii）由两点间距离公式得|MF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
    由弦长公式得|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y1-y2|
    =$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{\sqrt{24（{m}^{2}+1）}}{3+{m}^{2}}$，
    ∴$\frac{|MF|}{|PQ|}$=$\frac{3+{m}^{2}}{2\sqrt{6}•\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
    令t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$（t≥1），
    则$\frac{|MF|}{|PQ|}$=$\frac{{t}^{2}+2}{2\sqrt{6}t}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$（t+$\frac{2}{t}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{6}}$•2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（当且仅当t2=2时，取“=”号），
    ∴当$\frac{|MF|}{|PQ|}$最小时，由t2=2=m2+1，得m=1或m=-1，
    此时点M的坐标为（-3，1）或（-3，-1）．

    点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查弦长公式和基本不等式的运用，属于中档题．

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