Question

如图，△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，用坐标法，证明：

3

4

（|AB|²+|BC|²+|AC|²）=|AD|²+|BE|²+|CF|²．

Answer 1

考点：两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：以B为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），A（b，c），可得D(

a

2

，0)，F(

b

2

，

c

2

)，E(

a+b

2

，

c

2

)，由距离公式验证即可．

解答： 解：以B为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系如图所示：
设C（a，0），A（b，c），则D(

a

2

，0)，F(

b

2

，

c

2

)，E(

a+b

2

，

c

2

)，
由左边公式可得左边=

3

4

(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=

3

4

(b2+c2+a2+a2-2ab+b2+c2)=

3

2

(a2+b2+c2-ab)
同理可得右边=|AD|2+|BE|2+|CF|2=(b-

a

2

)2+c2+

(a+b)2

4

+

c2

4

+(a-

b

2

)2+

c2

4

=

3

2

(a2+b2+c2-ab)
∴

3

4

(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2

点评：本题考查两点间的距离公式，建系是解决问题的关键，属基础题．