Question

如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．

（1）若，求矩形ABCD面积；

（2）若，求矩形ABCD面积的最大值.

 

Answer 1

`（1）14；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 设切点为 ,利用导数的几何意义求出切点坐标，从而求出矩形ABCD的边长.

（2） 设切点为 ,利用导数的几何意义求出切点坐标, 从而求出矩形ABCD的边长,将矩形ABCD的面积S表示成的函数，最后利用导数判断此函数的单调性进而确定其最值.

试题解析：【解析】
（1）当时，设切点为，则，

因为，所以切线方程为，即

因为切线过点，所以，即，于是.

将代入得.

所以，所以矩形面积为.

（2）设切点为，则，因为，所以切线方程为，即

因为切线过点，所以，即，于是.

将代入得.

（若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可.）

所以，所以矩形面积为，

所以当时，；当时，；故当时，S有最大值为

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.