Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ，则a_n=（n+1）2^n-1．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+2ⁿ，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$时等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1），
∴a_n=（n+1）2^n-1．
故答案为：（n+1）2^n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．