Question

13．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}+{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用已知条件求出数列的公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 化简${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}+{a_n}$，通过裂项消项法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，…（3分）
且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），…（4分）
即d=2，…（5分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}+{a_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}+（2n-1）$，…（7分）
∴${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]+\frac{n（1+2n-1）}{2}$…（10分）
=$\frac{n}{2n+1}+{n^2}$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的简单方法的应用，考查计算能力．