Question

3．设f（x）=|x+1|+|ax+1|
（1）若f（-1）=f（1），f（-$\frac{1}{a}$）=f（$\frac{1}{a}$）（a∈R且a≠0），试求a的值；
（2）设a＞0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|1-a|=2+|a+1|，|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2，运用绝对值不等式的性质，可得a=-1：
（2）对a讨论，分a=1，0＜a＜1，a＞1，由零点分区间的方法，去掉绝对值，运用一次函数的单调性，可得最小值．

解答 解：（1）f（-1）=f（1），f（-$\frac{1}{a}$）=f（$\frac{1}{a}$），可得
|1-a|=2+|a+1|，|1-$\frac{1}{a}$|=|1+$\frac{1}{a}$|+2，
由|1-a|-|1+a|≤|（1-a）+（1+a）|=2，当（1-a）（1+a）≤0，且|1-a|≥|1+a|，
即为a≤-1，取得等号；
同理|1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$|≤|（1-$\frac{1}{a}$）+（1+$\frac{1}{a}$）|=2，可得$\frac{1}{a}$≤-1，取得等号．
解得a=-1；
（2）由f（x）=|x+1|+|ax+1|，a＞0，
当a=1时，f（x）=2|x+1|，当x=-1时，取得最小值0；
当0＜a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2-（1+a）x，x≤-\frac{1}{a}}\\{（a-1）x，-\frac{1}{a}＜x＜-1}\\{2+（1+a）x，x≥-1}\end{array}\right.$，
可得当x≤-$\frac{1}{a}$，f（x）≥$\frac{1-a}{a}$；当-$\frac{1}{a}$＜x＜-1时，f（x）∈（1-a，$\frac{1-a}{a}$）；
当x≥-1时，f（x）≥1-a．
则f（x）≥1-a，即有f（-1）取得最小值，且为1-a；
当a＞1时，若x＜-1时，f（x）=-2-（1+a）x，递减，可得f（x）＞-1+a；
若-1≤x≤-$\frac{1}{a}$时，f（x）=（1-a）x递减，可得f（x）∈[$\frac{a-1}{a}$，a-1]；
若x＞-$\frac{1}{a}$时，f（x）=2+（1+a）x，递增，可得f（x）＞$\frac{a-1}{a}$．
即有f（x）≥$\frac{a-1}{a}$．即为f（x）的最小值为f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{a-1}{a}$．
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的最小值为f（-1）=1-a；
a＞1时，f（x）的最小值为f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{a-1}{a}$．

点评 本题主要考查含绝对值函数的最小值的求法，注意运用零点分区间，以及一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．