Question

一个直角三角形三边的长成等比数列，则（　　）

• A．三边边长之比为3：4：5
• B．三边边长之比为1：

  3

  ：3
• C．较小锐角的正弦为

  5 -1

  2

• D．较大锐角的正弦为

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由直角三角形的三边成等比数列，公比为q，设三角形三边分别为a，aq，aq²，根据勾股定理列出关系式，根据a大于0，化简可得关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，可求出三角形三边之比，对选项A和B进行判断；由三角形最大角为直角，设最小角为α，由最短的边为a，最长的边为aq²，利用正弦定理表示出sinα，将q²的值代入即可求出sinα的值，作出判断；又三角形最大角为直角，其正弦值为1，故选项D错误．进而得到正确的选项．

解答：解：设直角三角形较短的直角边为a（a＞0），公比为q，
由题意得：其它两边分别为aq，aq²，
根据勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=

1+ 5

2

或q²=

1- 5

2

（舍去），
则q²的值为

1+ 5

2

，
∴三边长之比为a：aq：aq²=1：q：q²=1：

1+ 5 2

：

1+ 5

2

，
故选项A和B错误；
设最小内角为α，
根据正弦定理得：

a

sinα

=

aq2

sin π 2

，即sinα=

1

q2

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

，
则较小锐角的正弦值为

5 -1

2

，故选项C正确，
又最大角为直角，其正弦值为1，故选项D错误，
故选C

点评：此题考查了等比数列的性质，勾股定理，正弦定理，特殊角的三角函数值，以及一元二次方程的解法，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．