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一个直角三角形三边的长成等比数列,则( )
A.三边边长之比为3:4:5
B.三边边长之比为1::3
C.较小锐角的正弦为
D.较大锐角的正弦为
【答案】分析:由直角三角形的三边成等比数列,公比为q,设三角形三边分别为a,aq,aq2,根据勾股定理列出关系式,根据a大于0,化简可得关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值,可求出三角形三边之比,对选项A和B进行判断;由三角形最大角为直角,设最小角为α,由最短的边为a,最长的边为aq2,利用正弦定理表示出sinα,将q2的值代入即可求出sinα的值,作出判断;又三角形最大角为直角,其正弦值为1,故选项D错误.进而得到正确的选项.
解答:解:设直角三角形较短的直角边为a(a>0),公比为q,
由题意得:其它两边分别为aq,aq2
根据勾股定理得:a2+(aq)2=(aq22
整理得:q4-q2-1=0,
解得:q2=或q2=(舍去),
则q2的值为
∴三边长之比为a:aq:aq2=1:q:q2=1:
故选项A和B错误;
设最小内角为α,
根据正弦定理得:=,即sinα===
则较小锐角的正弦值为,故选项C正确,
又最大角为直角,其正弦值为1,故选项D错误,
故选C
点评:此题考查了等比数列的性质,勾股定理,正弦定理,特殊角的三角函数值,以及一元二次方程的解法,熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.
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3
:3
C.较小锐角的正弦为
5
-1
2
D.较大锐角的正弦为
5
-1
2

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B.三边边长之比为1::3
C.较小锐角的正弦为
D.较大锐角的正弦为

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