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已知函数y=sinx+
3
cosx

(1)求它的最小正周期和最大值;
(2)求它的递增区间.
分析:(1)利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin(x+
π
3
)
,由此可得它的周期及最大值.
(2)由-
π
2
+2kπ≤x+
π
3
π
2
+2kπ
,k∈z,求得x的范围,可得该函数的递增区间.
解答:解:(1)依题意可得y=sinx+
3
cosx
=2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)
=2(sinxcos
π
3
+cosxsin
π
3
)
=2sin(x+
π
3
)

所以T=
ω
=2π
,最大值为2.
(2)由-
π
2
+2kπ≤x+
π
3
π
2
+2kπ
,可得-
6
+2kπ≤x≤
π
6
+2kπ
,k∈z
所以,该函数的递增区间为[-
6
+2kπ,
π
6
+2kπ]
,k∈z.
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式的应用,复合三角函数的周期性和最大值,正弦函数的单调性,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
求它的最大、最小值,并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx在点(
π
3
3
2
)
的切线与y=log2x在点A处的切线平行,则点A的横坐标是
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+cosx,给出下列四个命题:
(1)若x∈[0,
π
2
]
,则y∈(0,
2
]

(2)直线x=-
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴;
(3)在区间[
π
4
4
]
上函数y=sinx+cosx是减函数;
(4)函数y=sinx+cosx的图象可由y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位而得到.其中正确命题的序号是
(2)(3)
(2)(3)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+cosx,y=2
2
sinxcosx
,则下列结论中,正确的序号是

①两函数的图象均关于点(-
π
4
,0)成中心对称;
②两函数的图象均关于直线x=-
π
4
成轴对称;
③两函数在区间(-
π
4
π
4
)上都是单调增函数; 
④两函数的最小正周期相同.

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