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已知函数y=sinx+cosx,y=2
2
sinxcosx
,则下列结论中,正确的序号是

①两函数的图象均关于点(-
π
4
,0)成中心对称;
②两函数的图象均关于直线x=-
π
4
成轴对称;
③两函数在区间(-
π
4
π
4
)上都是单调增函数; 
④两函数的最小正周期相同.
分析:先化简函数,再利用中心对称、轴对称的判断方法判断,可得①②的正确性;利用三角函数的单调性与周期性,可知③④的周期性.
解答:解:由题意y=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
y=2
2
sinxcosx
=
2
sin2x

①x=-
π
4
时,
2
sin(x+
π
4
)
=0,图象关于点(-
π
4
,0)成中心对称;x=-
π
4
时,
2
sin2x
=-
2
,图象不关于点(-
π
4
,0)成中心对称,故①不正确;
②由①知,函数y=sinx+cosx的图象不关于直线x=-
π
4
成轴对称;y=2
2
sinxcosx
的图象均关于直线x=-
π
4
成轴对称,故②不正确;
③x∈(-
π
4
π
4
)时,x+
π
4
∈(0,
π
2
)
,函数y=
2
sin(x+
π
4
)
单调递增;x∈(-
π
4
π
4
)时,2x∈(-
π
2
π
2
)
,函数y=2
2
sinxcosx
在区间(-
π
4
π
4
)上都是单调增函数,故③正确;
④y=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)
的周期为2π,y=2
2
sinxcosx
=
2
sin2x
的周期为π,故④不正确
故答案为③
点评:本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
求它的最大、最小值,并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+
3
cosx

(1)求它的最小正周期和最大值;
(2)求它的递增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx在点(
π
3
3
2
)
的切线与y=log2x在点A处的切线平行,则点A的横坐标是
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+cosx,给出下列四个命题:
(1)若x∈[0,
π
2
]
,则y∈(0,
2
]

(2)直线x=-
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴;
(3)在区间[
π
4
4
]
上函数y=sinx+cosx是减函数;
(4)函数y=sinx+cosx的图象可由y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位而得到.其中正确命题的序号是
(2)(3)
(2)(3)

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