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已知函数y=sinx+cosx,给出下列四个命题:
(1)若x∈[0,
π
2
]
,则y∈(0,
2
]

(2)直线x=-
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴;
(3)在区间[
π
4
4
]
上函数y=sinx+cosx是减函数;
(4)函数y=sinx+cosx的图象可由y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位而得到.其中正确命题的序号是
(2)(3)
(2)(3)
分析:根据有关公式化简可得:y=
2
sin(x+
π
4
),(1)根据三角函数的性质可得:y∈[1,
2
].(2)当 x=-
4
时,函数y=sinx+cosx有最大值-
2
.(3)由三角函数的性质可得:函数y=
2
sin(x+
π
4
)的单调减区间为:[2kπ+
π
4
,2kπ+
4
],k∈Z
.(4)函数y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位得到函数y=
2
sin(x-
π
4
)的图象.
解答:解:由题意可得:函数y=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),
因为x∈[0,
π
2
],所以根据三角函数的性质可得:y∈[1,
2
],所以(1)错误;
当 x=-
4
时,函数y=sinx+cosx有最大值-
2
,所以x=-
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴,所以(2)正确;
由三角函数的性质可得:函数y=
2
sin(x+
π
4
)的单调减区间为:[2kπ+
π
4
,2kπ+
4
],k∈Z

所以在区间 [
π
4
4
]
上函数y=sinx+cosx是减函数,所以(3)正确;
函数y=
2
sinx
的图象向右平移
π
4
个单位得到函数y=
2
sin(x-
π
4
)的图象,所以(4)错误.
故答案为:(2)(3).
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质与函数图象的平移变换,以及正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性,考查学生的分析问题解决问题的能力,是基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
求它的最大、最小值,并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+
3
cosx

(1)求它的最小正周期和最大值;
(2)求它的递增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx在点(
π
3
3
2
)
的切线与y=log2x在点A处的切线平行,则点A的横坐标是
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)
2log2e.(注:填
2
ln2
也给分)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=sinx+cosx,y=2
2
sinxcosx
,则下列结论中,正确的序号是

①两函数的图象均关于点(-
π
4
,0)成中心对称;
②两函数的图象均关于直线x=-
π
4
成轴对称;
③两函数在区间(-
π
4
π
4
)上都是单调增函数; 
④两函数的最小正周期相同.

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