Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+an=4，n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．
（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立，求证：数列{bn}是等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即 ．

当n=1时，2a1=4，解得a1=2．

∴数列{an}是等比数列，an= =22﹣n．

（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+ =2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，

假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，

则2﹣logC2=0，解得C= ．

∴存在这样的常数C= ，使得数列{dn}是常数列，dn=3+ =7．

（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），

∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．①

（*）两边同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．②．

①﹣②可得bn+1a1= = ，

∴ ，

∴ ，（n≥3）．

又2b1= ，解得b1= ．

b1a2+b2a1= ，

∴ +b2×2=﹣ ，解得b2= ．

当n=1，2时， ，也适合．

∴ ，（n∈N*）是等差数列．

【解析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+ =（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C即可．（3）由于对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．（*）两边同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．两式相减可得可得 ，即 ，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．
【考点精析】通过灵活运用等差关系的确定和数列的前n项和，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．