Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则 ，
而 =0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）解： ，
设平面B1CE的法向量为 ，
则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以 ．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1 ， 所以B1C1⊥平面CEC1 ，
故 为平面CEC1的一个法向量，
于是 = ．
从而 = = ．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ．
（Ⅲ）解： ，
设 0≤λ≤1，
有 ．
取 为平面ADD1A1的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则 =
= ．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以线段AM的长为 ．

【解析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．