Question

已知椭圆

x2

4

+y²=1与直线x-y+b=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求b的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出点P、Q的坐标，利用椭圆方程与直线方程组成方程组，消去y，
再结合根与系数的关系，求出x₁•x₂与y₁•y₂的值，
由OP⊥OQ，得出x₁x₂+y₁y₂=0，从而求出b的值．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由椭圆方程与直线方程组成方程组，得；

x2 4 +y2=1 x-y+b=0

，
消去y，得；
x²+4（x+b）²=4，
整理得5x²+8bx+4b²-4=0，
∴x₁+x₂=-

8b

5

，x₁•x₂=

4b2-4

5

；
∴y₁•y₂=（x₁+b）（x₂+b）
=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=

4b2-4

5

+（-

8b2

5

）+b²
=

b2-4

5

；
又∵OP⊥OQ，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4b2-4

5

+

b2-4

5

=0，
解得b=±

2

5

10

．

点评：本题考查了直线与椭圆的性质和应用的问题，解题时应利用向量垂直，数量积等于0，结合根与系数的关系进行解答，是综合题．