Question

5．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，xf′（x）-f（x）＜0，若$a=\frac{f（e）}{e}$，$b=\frac{f（ln2）}{ln2}$，$c=\frac{f（-3）}{-3}$，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜c＜a
• C． a＜c＜b
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．
∵函数f（x）为奇函数，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是偶函数，
∴c=$\frac{f（-3）}{-3}$=g（-3）=g（3），
∵a=$\frac{f（e）}{e}$=g（e），b=$\frac{f（ln2）}{ln2}$=g（ln2），
∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），
∴c＜a＜b，
故选：D．

点评 本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，属于中档题．