Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，

Sn

n

)都在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（Ⅲ）令g(n)=(1+

2

an

)n（n∈N^*），求证：2≤g（n）＜3．

Answer 1

分析：（I）由题意因为点(n，

Sn

n

)在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上，所以可以求出Sn=n2+

1

2

an，由此猜想：a_n=2n，利用数学归纳法即可求证；
（II）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；
（III）由（I）中知a_n=2n，∴g(n)=(1+

2

an

)n=(1+

1

n

)n，当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；n≥2时，(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+

C

2 n

(

1

n

)2+

C

n n

(

1

n

)n，利用二项式定理进行适当放缩即可得证．

解答：解：（I）因为点(n，

Sn

n

)在函数f(x)=x+

an

2x

的图象上，
故

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，a₂=4；令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2k成立，
则当n=k+1时，注意到Sn=n2+

1

2

an（n∈N^*），
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，Sk=k2+

1

2

ak．
两式相减，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由归纳假设得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
这说明n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，对一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（II）因为a_n=2n（n∈N^*），所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010；
（III）有（I）中知a_n=2n，∴g(n)=(1+

2

an

)n=(1+

1

n

)n，
当n=1时，f（1）=2∈[2，3）；
当n≥2时，(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+…+

C

n n

(

1

n

)n
显然( 1+

1

n

) n=

C

o n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1 +…

C

n n

(

1

n

)n≥

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1=2
而

C

k n

(

1

n

)k=

n(n-1)(n-2)(n-k+1)

nk

•

1

k!

＜

1

k!

≤

1

(k-1)k

=

1

(k-1)

-

1

k

（k≥2）(1+

1

n

)n=

C

0 n

(

1

n

)0+

C

1 n

(

1

n

)1+

C

2 n

(

1

n

)2+

C

n n

(

1

n

)n＜1+1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=3-

1

n

＜3．

点评：此题考查了利用数学归纳法求解并进行证明数列的通项公式，还考查了学生的理解题意综合能力，尤其考查了利用二项式定理及不等式的放缩的能力，属于数学习题中的难题及拔高题．