Question

【题目】（本小题共12分）

如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）过作交于，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则平面的法向量为，再算出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）过作交于，连接因为， ，所以

又，所以故，

所以四边形为平行四边形，故，

而平面， 平面，

所以平面；

（Ⅱ）以为坐标原点， 所在方向为轴正方向，建立平面

直角坐标系，则， ， ，

平面的法向量为，设平面的法向量为

，则，即

，不妨设，则

所求二面角的大小为 .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.