Question

【题目】如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形， 为棱上的动点，且.

（1）求证： ；

（2）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）通过证明平面，得出，因为，所以；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由 ，用表示出P点坐标，求出平面MAD的法向量，根据二面角的平面角余弦值为，求出的值。

试题解析：(1)取中点，连结，依题意可知均为正三角形，所以， ，又， 平面， 平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以.

(2) 由（1）可知， ，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

，由，可得点的坐标为，

所以，

设平面的法向量为，则即

解得，令，得，显然平面的一个法向量为.

依题意，

得或（舍去）

当时，二面角的平面角余弦值为.