Question

【题目】已知：三棱锥中，侧面垂直底面， 是底面最长的边；图1是三棱锥的三视图，其中的侧视图和俯视图均为直角三角形；图2是用斜二测画法画出的三棱锥的直观图的一部分，其中点在平面内．

（Ⅰ）请在图2中将三棱锥的直观图补充完整，并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；

（Ⅱ）设二面角的大小为，求的值；

（Ⅲ）求点到面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：(1)由三视图还原(如下图)可知， H为BC中点， ， ，所以和是直角三角形，

（2）由等体积法由可求得点到面的距离。

试题解析：（Ⅰ）补充完整的三棱锥的直观图如图所示；

由三视图知和是直角三角形．

（Ⅱ）如图，过作交于点.

由三视图知， ， ，

∴在图中所示的坐标系下，相关点的坐标为： ， ， ， ，

则， ，

， .

设平面、平面的法向量分别为, ．

由， ，得

令， 得， ，即．

由， ，得，

令， 得， ，即．

，

,则．

∵二面角的大小为锐角，∴的值为．

（Ⅲ）记到面的距离为，

由， ， ， ，

得，

,

， .

又三棱锥的体积，

由，可得： ．