Question

已知函数的定义域为，部分对应值如下表：

的导函数的图象如图所示，

则下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点。
其中真命题的个数是 (    )

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

Answer 1

D

解析试题分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案. 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：

由图得：①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2；④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）-a有2个零点，也可以是3个零点．综上得：真命题只有②．故选 D．
考点：导函数和原函数的单调性
点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．