Question

已知函数f（x）=

3x-1

3x+1

（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）用定义判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由y=

3x-1

3x+1

（x∈R），解得3x=

1+y

1-y

，利用3^x＞0，即可解出．
（2）计算f（-x），判断与±f（x）的关系；
（3）利用函数的单调性的定义即可得出；
（3）利用函数的奇偶性、单调性即可得出．

解答： 解：（1）由y=

3x-1

3x+1

，解得3x=

1+y

1-y

，
又3^x＞0，∴-1＜y＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）∵f(-x)=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f(x)，
∴函数f（x）为奇函数．
（3）此函数单调增函数．
证明：f(x)=1-

2

3x+1

．
在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则 f（x₁）-f（x₂）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴3x1＜3x2，从而f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在R上为单调增函数．
（4）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数．
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0，即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴1-m＜m²-1．
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，考查了计算能力，属于基础题．