Question

设函数f（x）=

-2ax2+bx+c

（a＞0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：此题考查的是二次函数的性质问题．在解答时可以先将问题转化为方程，因为一个方程可以求解一个未知数．至于方程的给出要充分利用好“构成一个正方形区域”的条件．

解答： 解：由题意可知：所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，
则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，
f（x）的定义域为-2ax²+bx+c≥0的解集，
设x₁、x₂是方程-2ax²+bx+c=0的根，且x₁＜x₂，
则x₁+x₂=

b

2a

，x₁x₂=-

c

2a

，
定义域的长度为|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 4a2 + 2c a

=

b2+8ac

2a

，
而f（x）的值域为[0，

8ac+b2 8a

]，
则有

8ac+b2 8a

=

b2+8ac

2a

，
∴8a=4a²，
∴a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查的是二次函数的性质问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力．值得同学们体会反思．