Question

【题目】已知函数(其中,是自然对数的底数) .

(1)若对任意,都有,求的取值范围;

(2)设()的最小值为,当时,证明:.

Answer 1

【答案】(1) . (2)证明见解析

【解析】

（1）先求得的导函数，对分成三种情况分类讨论，结合，求得的取值范围.

（2）利用的导数求得的最小值.利用函数的导函数，求得的最大值为零，由此证得.利用差比较法、分析法，即证，即证.用常用不等式证得上式成立.从而证得不等式成立.

(1)的定义域为,,

(i)若时,当时,,在上递增,且时,,所以不恒成立,故不符合条件;

(ii)若时,,所以符合条件;

(iii)若时,令,得,当时,,在上递减;当时, ,在上递增,

所以,即,得,

综上, 的取值范围是.

(2) 的定义域为,,得,于是

当时,,递减;当时,,递增,

所以,

,得,当时,, 递增;当时,,递减,所以,

,等价于,等价于,

由(1)知时,得,在时,得,用替代,得,用替代,得(当且仅当时取等号), 取，显然成立

综上知,.