Question

在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

x-y-2≤0 x+2y-4≥0 2y-3≤0

给定．若M（x，y）为D上的动点，点N的坐标为（1，3），则z=

OM

•

ON

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：利用向量的数量积运算，求出z=

OM

•

ON

=x+3y，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
∵M（x，y）为D上的动点，点N的坐标为（1，3），
∴z=

OM

•

ON

=x+3y，
由z=x+3y得y=-

1

3

x+

1

3

z，
平移直线y=-

1

3

x+

1

3

z，
由图象可知当直线y=-

1

3

x+

1

3

z经过点A时，y=-

1

3

x+

1

3

z的截距最小，此时z最小．
由

x-y-2=0 x+2y-4=0

，
解得

x= 8 3 y= 2 3

，即A（

8

3

，

2

3

），
代入z=x+3y=

8

3

+

2

3

×3=

14

3

．
即目标函数z=x+3y最小值为

14

3

．
故答案为：

14

3

．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．