Question

设a是实数，函数f（x）=2x²+（x-a）•|x-a|，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：

分析：分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．

解答： 解：当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f（x）_min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．

综上所述：f（x）_min=

-2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

．

点评：本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．