Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（2）证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若函数f（x）=a-

2

2x+1

为奇函数，则f（0）=0，进而可求出满足条件的实数a值．
（2）任取x₁＜x₂，判断f（x₁），f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义可判断出函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）若函数f（x）=a-

2

2x+1

为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
解得：a=1，
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

满足f（-x）=-f（x），
故存在a=1使函数f（x）为奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）为增函数

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，熟练掌握函数奇偶性和函数单调性的定义是解答的关键．