Question

已知a，b，c都是正数，求证：
（1）a^ab^bc^c≥a 

b+c

2

b 

a+c

2

c 

a+b

2

；  
（2）

a+b

2

≥

a+b	abba

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：（1）利用综合法，可得

aabbcc

a b+c 2 b a+c 2 c a+b 2

=(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

，利用指数函数y=(

a

b

)x的单调性质可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，(

a

c

)

a-c

2

≥1，(

b

c

)

b-c

2

≥1，从而可证结论成立；
（2）利用基本不等式

a+b

2

≥

ab

，再利用分析法证明即可．

解答： 证明：（1）∵a，b，c都是正数，
∴

aabbcc

a b+c 2 b a+c 2 c a+b 2

=(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

，
∵a，b，c都是正数，当a≥b时，

a

b

≥1，

a-b

2

≥0，由由指数函数y=(

a

b

)x的单调递增性质可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，
当0＜a＜b时，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，由指数函数y=(

a

b

)x的单调递减性质可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，
综上所述，(

a

b

)

a-b

2

≥1；同理可知，(

a

c

)

a-c

2

≥1，(

b

c

)

b-c

2

≥1；
∴(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

≥1，即a^ab^bc^c≥a 

b+c

2

b 

a+c

2

c 

a+b

2

；  
（2）依题意，

a+b

2

≥

ab

，
要证

a+b

2

≥

a+b	abba

，只需证明?

ab

≥

a+b	abba

，即证(ab)

a+b

2

≥a^bb^a．
∵

(ab) a+b 2

abba

=a

a+b

2

-b•b

a+b

2

-a=(

a

b

)

a-b

2

≥1，
∴(ab)

a+b

2

≥a^bb^a成立，
∴原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法与分析法的应用，突出考查等价转化思想与指数函数的单调性质，考查推理论证能力，属于难题．